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Ich finde immer die "Physikerformel" am einfachsten zu merken. Die komplizierte Formel mit Multiindizes, die die Mathematiker angeben, sagt letztlich auch nur dasselbe aus.
Mathematica liefert Jetzt mußt Du noch die Gleichung lösen, was mir aber nicht so ganz einfach erscheint. Mathematica gibt nur eine Lösung, nämlich . Das liefert eine Lösung in Deinem Bereich bei . Die zweite, die es laut Zeichnung gibt, mußt Du Dir selbst ausklamüsern.
Spontan würde ich wie folgt vorgehen (keine Garantie, ob das Funktioniert): (1) Mit den Additionstheoremen alles sin(x), cos(x) zurückführen (2) Dann versuchen, alles in einen einzelnen sin oder cos zu überführen (3) Lösen mit Hilfe der Arcusfunktionen und genauer Analyse der übrigen Lösungen im gegebenen Intervall.
Dann darf natürlich auch nicht der Klassiker vergessen werden: Courant, Hilbert, Methoden der mathematischen Physik. Das ist einfach nur genial. Vor allem beinhaltet es auch die von Öhm angemahnte Anschaulichkeit. Freilich ist die Definition, die Devil zitiert hat, auch nicht so schlecht. Schließlich kann man die Quadriken, also die Hyperflächen der Form nach den drei Kegelschnittypen klassifizieren, wobei man freilich die Analogie aus dem bemüht. Man erhält nämlich ebene Kurven, die Kegelschnit...
Na ja, in einer strikt ungeometrischen Vorgehensweise kann man die Winkelfunktionen rein analytisch über ihre Potenzreihen definieren. Insbesondere ist der Cosinus durch Definiert. Weiter erklärt man dann die Zahl als die kleinste positive Nullstelle dieser Funktion. Daraus folgt dann so ziemlich alles übrige von selbst.
Gar nichts! Deshalb fragte ich ja. Man kann alle drei Grundtypen von linearen pdes mit Hilfe der Fouriertransformation lösen. Hast Du einen Link zu dem Skript? Ansonsten sei für dieses Thema auf A. Sommerfeld, Lehrbuch der Theoretischen Physik Bd. VI (Partielle Differentialgleichungen) verwiesen. Das ist anerkanntermaßen das Meisterwerk zu dem Thema schlechthin. In meinem Matheskript findest Du auch ein Kapitel zur Fouriertransformation, und da sind auch beispielhaft ein paar pdes behandelt, vor...
Wird denn in dem Skript/Buch darauf eingegangen, warum man Fourier-Methoden nur auf elliptische DGLn anwenden dürfen sollte? Das wäre aus Physikersicht ein wenig kurios, denn die Fouriermethoden bewähren sich ja gerade für Wellengleichungen, und die sind hyperbolisch (oder pseudo-parabolisch im Falle der Schrödingergleichung), oder eben die Wärmeleitungsgleichung, die parabolisch ist. Es wäre auch historisch paradox, denn Fourier hat ja seine geniale (und zu seiner Zeit eher kühl aufgenommenen!)...
Bei Bourbaki bin ich zwiegespalten zwischen totaler Begeisterung und harscher Ablehnung. Auf der einen Seite ist das Programm der Bourbakisten höchst erstrebenswert, nämlich eine axiomatische Begründung der gesamten Mathematik unter systematischer Anwendung der grundlegendsten Methoden der Mathematik, abstrakte Strukturen und Relationen zwischen denselben zu untersuchen. Als Metatheorie, die es im eigentlichen Bourbaki seltsamerweise nicht gibt, empfiehlt sich dabei die Kategorientheorie. Wie ge...
Dann kann's eigentlich nur Cauchy sein, denn der war (zusammen mit Riemann) der Begründer der modernen komplexen Analysis.
Hm, ich würde auf Sobolev tippen, denn der war ja einer der ersten, der Distributionen auf den nach ihm benannten Funktionenräumen betrachtet hat. Aber das ist jetzt nur geraten.
Da offenbar sonst niemand Spaß am Mitraten hat, hier das kanonische Beispiel aus Analysis I Von ähnlicher Bauart ist der Baustein für die Mollifiers, die höchst nützlich in der FA sind: Dabei ist eine Normierungskonstante, die so gewählt wird, daß ist. ist sogar aus , also den beliebig oft stetig diffbaren Fktn. mit kompaktem Träger. Die -Distribution ergibt sich als
Cool, wieder was gelernt! Nur noch eine Frage: Suchst Du eine Funktion, die nirgends in eine Potenzreihe entwickelbar ist oder nur in einem Punkt nicht. Letzteres ist ja relativ einfach (wird aber noch nicht verraten, falls noch jemand mitraten will). Bei ersterem frage ich mich gerade, ob es sowas ueberhaupt gibt.
Definier' mal, was Du mit meinst. Für mich ist der Raum der beliebig of stetig differenzierbaren Funktionen und für der Raum der mindestens -mal stetig differenzierbaren Funktionen. Dann ist aber für jedes . Das kannst Du also nicht gemeint haben.
Wieso sollte man einfach unabhängig von der Potenz nehmen dürfen? Am einfachsten geht es, wenn Du den Logarithmus nimmst. . Jetzt entwickelst Du den Logarithmus nach Potenzen von : . Damit ist aber . Wegen der Stetigkeit des Logarithmus ist also .
Die Rechnung in Zylinderkoordinaten findest Du hier. Arg umständlich, aber es geht. http://theorie.physik.uni-giessen.de/~he…vol-int-bsp.pdf
Am besten ist es, Du malst Dir mal die Situation in der xz-Ebene hin. Dann wird das sofort klar.
Vielleicht kürzen sie später mit ab. Mathematiker sind doch sonst so pingelig und definieren alles fein sauber (und das ist auch gut so!).
Vielleicht der n-dimensionale Vektorraum über , der isomorph zum ist? Ist ein VR, so ist die Gruppe der linearen Automorphismen auf , d.h. die invertierbaren linearen Abbildungen mit der Hintereinanderausführung als Gruppenprodukt. Eine endliche Untergruppe ist eine endliche Menge von solchen Abbildungen, die unter der Hintereinanderausführung in sich geschlossen ist und wieder eine Gruppe mit der Hintereinanderausführung bildet. Ein Gruppenhomomorphismus heißt auch Darstellung der Gruppe über d...
Das ganze sieht verdächtig nach der Keplerschen Gleichung für die Planetenbewegung aus. Dazu findest Du einiges in jedem guten Theoriebuch zur Mechanik (z.B. Sommerfeld).
Warum einfach, wenn's auch kompliziert geht? Hier zu logarithmieren ist ja wirklich schon fast ein Verbrechen, zumal Logarithmieren durchaus nicht ganz harmlos ist, wenn es um die Lösung von Gleichungen geht! Hier kürzt sich der Exponentialfaktor heraus, und dann bekommt man auch nicht nur die eine Lösung, sondern auch gleich noch die andere. Wie gesagt, Logarithmieren ist gefährlich beim Gleichungen Lösen, insbesondere darf man nicht vergessen, daß der Logarithmus einen bei 0 beginnenden Verzwe...
