Aufgabe Volumenintegral

mistel

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1

Montag, 19. Juli 2010, 16:12

Moin,

ich habe folgende Aufgabe:

Zitat

Ein Körper der Dichte $\rho(\vec r)=z$ liegt oberhalb der Ebene und hat als Grenzflächen den Kegel sowie die Kugelflächen und . Berechne nun die Masse mit $\int_V \rho(\vec r)\dd V$

Das Volumen ist doch ein Kegelvolumen, das durch zwei Kugelgrenzen begrenzt wird, oder?
Ich habe jetzt mit Zylinderkoordinaten gerechnet: $z=r, r_1=\frac1{\sqrt2}, r_2=\sqrt{2}$ . Also: $V=\int\limits_{\frac1{\sqrt2}}^{\sqrt{2}} r\dd r \int \limits_0^{2\pi}\dd\phi\int\limits_0^r z\dd z=\pi\int\limits_{\frac1{\sqrt2}}^{\sqrt{2}}r^3\dd r=\frac{15}{16}\pi$
Rauskommen soll aber $\frac{15}{8}\pi$ , wo ist also der Fehler?

.

Im Lösungsansatz stand auch, dass bei Verwendung von Kugelkoordinaten einfache Integrale mit konstanten Grenzen rauskommen. Jetzt bin ich aber zu blöd, z^2=x^2+y^2

in Kugelkoordinaten umzurechnen. Weiß wer rat?

Gruß,

mistel

Woher soll ich wissen, ob die Vergangenheit keine Fiktion ist, die nur erfunden worden ist, um den Zwiespalt zwischen meinen augenblicklichen Sinneswahrnehmungen und meiner Geistesverfassung zu erklären?
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pressure

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2

Montag, 19. Juli 2010, 16:54

Ich kann nicht nachvollziehen, wie du auf diese Grenze In Zylinderkoordinaten kommst, was daran liegen könnte, dass sie falsch sind.

In Kugelkoordinaten sieht das Ganze so aus:

$m=\int\limits_{1}^{2} \dd r \int \limits_0^{\frac{\pi}{4}}\dd\theta\int\limits_0^{2\pi} r^3\cdot \cos(\theta)\sin(\theta)\dd \phi=\frac{15}{8}\pi$

Mit $z=r\cdot \cos(\theta)$ .

mistel

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3

Montag, 19. Juli 2010, 20:18

Zitat von »pressure«

was daran liegen könnte, dass sie falsch sind.

$z=r=\sqrt{x^2+y^2}$ und das dann in die beiden Kugelgleichungen einsetzen. (z=r wegen des Kegels)

Warum geht $\theta$ von 0 bis 45°?

Woher soll ich wissen, ob die Vergangenheit keine Fiktion ist, die nur erfunden worden ist, um den Zwiespalt zwischen meinen augenblicklichen Sinneswahrnehmungen und meiner Geistesverfassung zu erklären?
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vanhees71

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4

Montag, 19. Juli 2010, 20:35

Am besten ist es, Du malst Dir mal die Situation in der xz-Ebene hin. Dann wird das sofort klar. *009*

Physik-FAQhttp://theory.gsi.de/~vanhees/faq/index.html

mistel

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5

Montag, 19. Juli 2010, 20:39

Zitat von »vanhees71«

Am besten ist es, Du malst Dir mal die Situation in der xz-Ebene hin. Dann wird das sofort klar.

Das hatte ich als Allererstes gemacht *wand*

.... sorry, jetzt sind die 45° auch klar. Ich stand wohl aufm Schlauch. Jetzt ergibt alles einen Sinn *004*

. Dennoch würde ich gerne wissen, wie ich allein durch die Begrenzungen darauf komme und was nun beim Zylinder falsch ist- auf die richtigen Grenzen bei r komme ich nicht :-/.

Woher soll ich wissen, ob die Vergangenheit keine Fiktion ist, die nur erfunden worden ist, um den Zwiespalt zwischen meinen augenblicklichen Sinneswahrnehmungen und meiner Geistesverfassung zu erklären?
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vanhees71

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6

Dienstag, 20. Juli 2010, 00:02

Die Rechnung in Zylinderkoordinaten findest Du hier. Arg umständlich, aber es geht. *004*

http://theorie.physik.uni-giessen.de/~he…vol-int-bsp.pdf

Physik-FAQhttp://theory.gsi.de/~vanhees/faq/index.html

mistel

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7

Dienstag, 20. Juli 2010, 10:09

Vieeelen Dank! *013*

Jetzt sehe ich auch meine Fehler (und noch mehr, z.B. die Unstetigkeitsstelle).

Woher soll ich wissen, ob die Vergangenheit keine Fiktion ist, die nur erfunden worden ist, um den Zwiespalt zwischen meinen augenblicklichen Sinneswahrnehmungen und meiner Geistesverfassung zu erklären?
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Zitat

Zitat von »pressure«

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