Verwirrungen über "endlich" und "abzählbar"

lambda

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Dienstag, 20. Juli 2010, 19:39

Meine Verwirrungen während der Reise in das Unendliche nehmen kein endliches Ende.

Eine Menge heißt endlich, wenn eine bijektive Abbildung zwischen dem Abschnitt $\mathbb N (p)$ und einer beliebigen Mengen existiert. Andernfalls heißt sie unendlich. So weit, so unendlich.

Eine Menge heißt abzählbar unendlich, falls sie gleichmächtig zu $\mathbb N$ ist und abzählbar, falls endlich ist oder abzählbar unendlich. So weit, so abzählbar.

Nun zeigt man mithilfe zwei anderer Sätzen, dass $\mathbb N$ unendlich ist. Unnd zwar folgt das daraus, dass $\mathbb N$ nicht nach oben beschränkt ist und dass jede endliche Teilmenge von $\mathbb R$ stets beschränkt ist.

Aber wieso ist denn $\mathbb N$ nicht auch endlich? Ich kann doch eine bijektive Abb. zwischen $\mathbb N (p)$ und $\mathbb N$ angeben, da $p\in \mathbb N$ beliebig. Für $p=\infty$ wäre damit $\mathbb N$ endlich, da $\mathbb N (\infty)=\mathbb N$ . Ich weiß nicht, wie ich es anders ausdrücken sollte, was ich will. Auch wenn die Schreibweise mit dem Uendlich falsch sein mag, zeigt es doch, was ich meine.

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Dienstag, 20. Juli 2010, 23:21

Zitat von »lambda«

Für $p=\infty$

Es ist $\infty\notin\mathbb N$ .
Falls noch Fragen offen sind, einfach fragen

$e^{\pi i}+1=0$

"Mathematik ist das freie Spiel mit abstrakten Denksystemen und damit höchst theoretisch. Die Anwendbarkeit auf die Realität ist eigentlich sehr erstaunlich."
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EDTA

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Mittwoch, 21. Juli 2010, 09:26

Zitat von »bottom«

Zitat von »lambda«

Für $p=\infty$

Es ist $\infty\notin\mathbb N$ .
Falls noch Fragen offen sind, einfach fragen
lg

Kurze Zwischenfrage: Wieso ist $\infty\notin\mathbb{N}$ ?

Bei den komplexe Zahlen war es, glaube ich, irgendwas mit Riemann-Kugel, dass Unendlich als Punkt anzusehen ist.
Warum $\infty$ dann nicht zu $\mathbb{N}$ gehört, verwirrt mich jetzt ein bisschen.

$\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)\;=-\; \frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\psi(x,t)+V(x,t)\psi(x,t)$

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Mittwoch, 21. Juli 2010, 11:29

Zitat von »EDTA«

Kurze Zwischenfrage: Wieso ist \infty\notin\mathbb{N}?

Quick 'n' dirty? Was ist denn bitte $\infty\ + 1$ oder $\infty\ - 1$ für eine Zahl?

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lambda

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Mittwoch, 21. Juli 2010, 16:07

Zitat von »bottom«

Zitat von »lambda«

Für $p=\infty$

Es ist $\infty\notin\mathbb N$ .
Falls noch Fragen offen sind, einfach fragen
lg

Hi,

ich habe ja gesagt, dass ich $\infty$ nur genommen habe, um deutlich zu machen, was ich will. Ich habe mir das so gedacht: Da $\mathbb N (p)$ für ein beliebiges, aber festes p aus den natürlichen Zahlen gilt, kann ich diese Menge doch immer anpassen. Denn solange es ja ein p gibt, ist die Menge endlich. Und da p aus $\mathbb N$ kommt und $\mathbb N$ abzählbar unendlich ist, kann ich doch p, egal wie groß, so wählen, dass ich jede beliebige abzählbar unendlich große Menge "erreichen" kann. Bspw. sei mal unsere unbekannte Menge X die Menge der natürlichen Zahlen. Nur wir wissen das nicht, wir sollen nur nachweisen, ob sie endlich ist. Nun kann ich doch $\mathbb N (p)$ immer weiter anpassen. Wenn ich ein p gewählt habe, she ich dass keine Bijektion besteht, dann neheme ich p+1, wieder keine Bijektion, dann eben p+2, usw. Nur würde ich damit halt nie ganz fertig werden. *smonster*

Ich weiß nicht, irgendwie klingt das logisch, trotzdem beisst's mir im Magen. Sehr verwirrend.

Letzlich will ich sagen, dass doch auch $\mathbb N (p)=\mathbb N$ sein kann. Ach Herrjemine. Ich weiß zwar, dass es keine größte natürliche Zahl gibt, aber irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, dass das nicht geht, da ich p ja aus dem ganzen Reservoir an natürlichen zahlen wählen kann und $\mathbb N (p)$ somit immer größer machen kann. Irgendwie kommt mir jetzt der Gedanke, dass mit einem Grenzwert zu erklären: $\lim_{p \rightarrow \infty} \mathbb N (p)\ =\mathbb N$ . Aber da wären wir wieder bei $\infty$ ...

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Mittwoch, 21. Juli 2010, 16:56

Das mit dem Grenzwert ist genau das Problem. Du kannst p halt nicht gegen unendlich laufen lassen, weil p eine natürliche Zahl ist (und du es dir fest wählst!). Wie man das noch anders begründen soll, weiß ich jetzt aber auch nicht. p ist halt eine natürliche Zahl.
Ich überleg mir nochmal, wie man das sonst noch begründen kann.
lg

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Donnerstag, 22. Juli 2010, 11:06

Okay, das Problem ist jetzt gelöst.

Man muss sich sein Problem einfach in eine Aufgabe packen und sie lösen.

Zeige, dass es kein $p\in \mathbb N$ gibt, so dass die Mengen $\mathbb N (p) \ \text{und} \ \mathbb N$ bijektiv aufeinander abgebildet werden können.

Beweis durch Widerspruch. Angenommen es gäbe ein p [...], dann wäre $\mathbb N$ nach oben beschränkt. Widerspruch.

Auch wenn man sich das ganze halt nicht so vorstellen kann, ist es doch mathematisch lösbar.

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