Grenzwert Problem

blumenkauffrau

Benutzer

Registrierungsdatum: 11. April 2010

Beiträge: 2

Mathewissen: Gymnasium Leistungskurs

Beruf: Studentin

Freitag, 23. Juli 2010, 01:53

Hallo!

Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

lim
n -> $\infty$

$(\frac{n+1}{n})^{n}$ = lim n-> $\infty$ $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ = e (Diese Lösung stand in unserer Aufgabensammlung)

Und zwar verstehe ich nicht, wie man von 1+1/n auf e kommt. wer kann mir das erklären?
Ich hätte jetzt eher gesagt 1/ $\infty$ = 0, dann käme in der Klammer 1 raus und $1^{n}$ würde dann ja 1 ergeben. Was ist an meiner Idee falsch?

vanhees71

Benutzer

Registrierungsdatum: 24. Juni 2009

Beiträge: 160

Wohnort: Gießen

Beruf: Postdoc (Theoretische Schwerionenphysik)

Freitag, 23. Juli 2010, 10:02

Wieso sollte man einfach $1/n \rightarrow 0$ unabhängig von der Potenz nehmen dürfen? *009*

Am einfachsten geht es, wenn Du den Logarithmus nimmst.

$\ln a_n=\ln \left [\left (1+\frac{1}{n} \right)^{n} \right]=n \ln \left (1+\frac{1}{n} \right)$ .

Jetzt entwickelst Du den Logarithmus nach Potenzen von 1/n

:

$\ln \left (1+\frac{1}{n} \right)=\frac{1}{n} + \mathcal{O} (1/n^2)$ .

Damit ist aber

$\lim_{n \rightarrow \infty} \ln a_n=1$ .

Wegen der Stetigkeit des Logarithmus ist also

$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n=\text{e}$ .

Physik-FAQhttp://theory.gsi.de/~vanhees/faq/index.html

Grenzwert Problem

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