Es wird höchste Zeit das wir uns mal über komplexe Zahlen unterhalten. Für Studenten im ersten Semester (Physik, Chemie, Ingenieurswesen) sind diese unumgänglich und wichtig, für angehende Studenten und motivierte Schüler gewiss spannend.

Zu diesem Thema werde ich bewusst zwei Beiräge schreiben. (Plus die Musteraufgaben die kommen werden, da man rechnen nur durch rechnen lernt) Dieser kleine Artikel hat das Ziel die komplexen Zahl ausschließlich auf dem Gebiet der konkreten Anwendung einzuführen und zwar so, dass jeder der die Mittlere Reife bestanden hat sich das Thema hiermit alleine beibringen kann. Auf Beweisführung wird entsprechend hier noch verzichtet. (Im zweiten Teil selbstverständlich nicht.) Dementsprechend wird sich hier keine mathematische Strenge wiederfinden, damit es auch wirklich jeder 10. Klässler und aufwärts kapiert.
Der darauf folgende zweite Artikel wird dafür all die wunderschöne mathematische Exaktheit die hier fehlt in vollen Zügen behandeln

Die Mathematiker im alten Italien hatten folgendes Problem. Dies ist soweit ich informiert bin die originale Problemstellung. Wir haben eine Parabel (Polynom zweiten Grades) die wie folgt lautet.



Lösen wir sie, zum Beispiel mit der pq-Formel. Quadratische Ergänzung führt zum selben Ziel. Das führt auf:



Tja, jetzt hat man ein Problem mit den Zahlen die man bis dato kennt. ist nicht erlaubt.

Also definieren wir uns etwas. (In der theoretischen Fortsetzung wird diese Definition klarer werden)

Wir setzen (Ingenieure nutzen hier fast immer , aber das ist nur ein Buchstabe)

Damit lautet die Lösung unserer Parabel:

Untersuchen wir die Parabel mal etwas allgemeiner und führen an ihr elementare Rechenumformungen um. Eine allgemeine Form wäre

und ich verlange mal . Dies kann man nun wie folgt umformen. (Reine Rechenspielerei, kann und soll jeder verifizieren)







Also haben wir immer noch die selbe Parabel, jedoch nun in der Gestalt:

und quadratwurzeln:

Stellen nach um:



Ein Blick auf die Diskriminante. Ist erhält man zwei unterschiedliche reele Lösungen. Ist gibt es zwei gleiche Lösungen und ist so benötigen wir wieder die komplexe Hilfe. Wir interessieren uns natürlich für den komplexen Fall. Somit lässt sich, ganz nach obigen Einführungsbeispiel der Ausdruck auch schreiben als:



Wobei reel ist. (Man denke an die Definition von )

Kommen wir dazu was eine Komplexe Zahl sein soll. Bis jetzt haben wir ja "nur" definiert. Das ist aber noch keine komplexe Zahl. Ergo: Was ist eine komplexe Zahl?

Eine komplexe Zahl ist jede Summe zweier reeller Zahlen und von der Form:

Dies ist die sogenannte Standard-Darstellung. (Der Name impliziert bereits, dass es auch andere Darstellungen gibt)

Die Zahl bezeichnet man als den Realteil einer komplexen Zahl und als den Imaginärteil. Hier sei noch extra betont: alleine ist der imaginäre Teil. Nicht !

Man notiert dies wie folgt:

und Ein schön verziertes R wie Realteil und I wie Imaginärteil.

Falls ist die komplexe Zahl also rein imaginär und falls ist sie rein reel. Darauf folgt unmittelbar: Die Zahlen die man bis dato kannte sind in den komplexen Zahlen enthalten. Die reellen Zahlen sind also eine Untermenge der komplexen Zahlen und haben alle Null als Imaginärteil.

Alle komplexen Zahlen muss man natürlich irgendwie zusammen fassen können. So wie ihr das bis jetzt mit für die Menge der reellen Zahlen kanntet, so lautet die Menge aller komplexen Zahlen , so wie complex. Wenn also eine komplexe Zahl ist, dann notiert man um dies zu verdeutlichen



Man beachte besonders:

Also wäre zum Beispiel:



Weil man schreiben kann als ist und


Für zwei komplexe Zahlen gelten folgende Grundrechenarten: (Im Theorie Artikel werden diese natürlich alle bewiesen)

Zwei komplexe Zahlen und heißen gleich, also

, wenn und gilt.


Die Summe zweier komplexer Zahlen und lautet:




Die Differenz wird analog berechnet, also:




Das Produkt von und ist minimal aufwendiger:







(weil )




Eine Division können wir leider noch nicht bilden, weil uns dazu der Begriff des sogenannten komplex konjugierten fehlt, also:

Ist eine komplexe Zahl, dann heißt das zu komplex konjugierte Es wurde also "nur" ein Vorzeichen geändert. Achtung: Die Physik notieren das komplex Konjugierte mit einem Stren anstatt mit einem Querstrich wie wir das eben taten. Dafür nutzt die Mathematik den Stren für anderes. Man muss also obacht geben wer zu einem spricht. Physiker oder Mathematiker.

Weiter gilt:



Betrachten wir mit diesem Wissen den Kehrwert einer komplexen Zahl.



und haben somit den Kehrwert einer komplexen Zahl wieder in der Standard-Darstellung stehen. Das lässt sich nutzen wenn man Division behandeln möchte, da man das Ergebnis wieder in die gewünschte Darstellung bringen kann.


Die Division zweier komplexen Zahlen und :








Ein paar weitere Eigenschaften komplex konjugierter Zahlen:







und

Wie immer wäre ein feedback und ne Kritik fein ob es alle kapiert haben. Das ist ein Ziel dieses Artikels gewesen. Falls was unklar ist, einfach fragen

Die Gaußebene, Polarkoordinaten und Eulersche Form habe ich bewusst hier nicht aufgeführt, da ich dann nicht mehr garantieren kann obs auch noch der Realschüler kapiert, aber keine Panik. Das kommt im nächsten Teil zu den komplexen Zahlen, ebenso wie die Beweise zu den hier getroffenen Aussagen und wir stellen das dann alles auf eine konsistente Darstellung.

Übungen kommen einer zeitlichen Unsicherheit zu dem was hier geschrieben wurde, dann kann es konkret geübt werden. Ist das hier verdaut, dann ist was das Rechnen mit komplexen Zahlen angeht bereits 75% der Miete eingefahren

Ich denke nach dem Theorie Teil und den Musteraufgaben kommt dann unter "Nenneswerte Posts" konkrete Physik wozu man das benötigt.

Grüsse