Monotone Folgen

One for one

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1

Dienstag, 9. Juni 2009, 22:45

Hi, ich möchte folgendes Zeigen:

Wenn (a_n)

eine monotone Folge ist, die eine konvergente Teilfolge $(a_{n_k})$ mit Grenzwert

besitzt, dann konvergiert (a_n)

selber gegen

.

Sei

obda monoton steigend. Sei $\epsilon >0$ beliebig. Es existiert ein N_1

, so dass $\forall i\ge N_1\ |a_{n_i}-K|<\epsilon$ .
Es gilt außerdem für alle $n\ge n_{N_1}+N_1$
$K-\epsilon<a_{n_{N_1}}\le a_n \le a_{n_n} <K+\epsilon \Rightarrow |a_n-K|<\epsilon$ . Man wähle also $N= n_{N_1}+N_1$ , um zu sichern, dass für alle n>N

$|a_n-K|<\epsilon$ ist, damit ist die Konvergenz von (a_n)

gezeigt.

Kritik erwünscht.

Wer sich über Kritik ärgert, gibt zu, dass sie verdient war. Tacitus
Eine Wissenschaft ist erst dann als voll entwickelt anzusehen, wenn sie dahin gelangt ist, sich der Mathematik bedienen zu können. Marx
Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner. Jakob Bernoulli

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2

Mittwoch, 10. Juni 2009, 01:00

Ist schon ein paar Jährchen her, die Sache mit den Folgen...

Aber mal ohne mich durch den Beweis zu arbeiten (später vielleicht) bringe ich ein Gegenbsp.

Nimm die Folge, deren Glieder wie nachstehend erklärt sind:

$a_n := \begin{cases} n, & \mbox{wenn n gerade} \\ 1, & \mbox{wenn n ungerade} \end{cases}$

Das Teil ist monoton und besitzt eine konvergente (weil konstante) Teilfolge, ABER ist dennoch nicht konvergent.

"How little do you mortals understand time. Must you be so linear, Jean-Luc?"

One for one

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3

Mittwoch, 10. Juni 2009, 01:52

Danke für die Reaktion aber wo ist das monoton?

Es kann nicht monton steigend sein, denn a_3<a_2

Es kann nicht monton fallend sein, da a_3<a_4

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4

Mittwoch, 10. Juni 2009, 02:03

Ich kenne die Unterscheidung "monoton" (für $\leq , \geq$ )und "streng monoton" (keine Gleichheit). Habe ich hier deshalb so auch verwendet. Mathematik und ihre Definitionen...

Bis demnächst!

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5

Mittwoch, 10. Juni 2009, 02:10

Hi,

ich habe mir gerade nochmal die Definitionen angeschaut und es ist mir nicht ersichtlich, weshalb deine Folge verdient haben sollte, monoton genannt zu werden.

$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\text{ ist Monoton} :\Leftrightarrow \forall n\in\mathbb{N}\ a_n\le a_{n+1}\quad \vee\quad \forall n\in\mathbb{N}\ a_n\ge a_{n+1}$

Weiß nicht ob ich noch so lange wach bin, um deine Antwort zu lesen, also wünsch ich dir eine geruhsame Nacht :sleeping:

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6

Mittwoch, 10. Juni 2009, 06:47

Ist mir auch nicht ersichtlich...Ist nun das zweite Mal, dass ich einen derartigen Müll schreibe. Reicht jetzt; dass muss es gewesen sein.

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Herbststurm

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7

Mittwoch, 10. Juni 2009, 23:43

Ohne mir das wirklich angesehen zu haben das was einem ins Auge sticht:

Furchtbar schlechter Aufschrieb. Als Tutor würde ich da konsequent für fehlende Formalia einige Punkte abziehen, ohne überhaupt den Satz angesehen zu haben... :thumbdown:

On a sexy problem sheet there are maximal $\color{red} { \mathrm{n} + \pi + \gamma + \mathrm{e}, ~ \mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*}$ points to achieve.

Exercises with transcedent number of points are facultative nuts. As is generally known, nuts are nourishing.

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8

Mittwoch, 10. Juni 2009, 23:56

Man denke sich um einige a_n

noch Klammern... (muss zugeben, dass ich da wirlich unaufmerksam war, es aber jetzt korrigiert habe)
Welche formalen Fehler machst du denn noch ausfindig, abgesehen von der mangelnden Unterscheidung der Folge von dem einzelnen Folgenglied?

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