Abbildung vs. Funktion

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Dienstag, 7. Juli 2009, 12:43

vielleicht ist es ne bescheuerte frage, aber gibt es eigendlich einen unterschied zwischen einer Funktion und einer Abbildung? Bei beidem wird doch einem $x\in M_1$ nach einer zuordnungsvorschrift f(x)

eindeutig ein $y\in M_2$ zugeordnet.
$f:M_1\longrightarrow M_2,~x\mapsto f(x)$

$e^{\pi i}+1=0$

"Mathematik ist das freie Spiel mit abstrakten Denksystemen und damit höchst theoretisch. Die Anwendbarkeit auf die Realität ist eigentlich sehr erstaunlich."
vanhees71

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2

Dienstag, 7. Juli 2009, 12:53

Gibt da meines Wissens keinen Unterschied zwischen. Man sagt aber eher reellwertige/komplexe Funktion, als reellwertige/komplexe Abbildung. Heißt ja auch Funktionen- und nicht Abbildungstheorie, wenns um Abbildungen zwischen Mengen komplexer Zahlen geht.

Ich würde also behaupten, dass die Begriffe das gleiche bedeuten, nur in manchen Kontexten der eine dem anderen aus Gewohnheit vorgezogen wird.

Vielleicht hat noch jemand anderes dazu was zu sagen?

PS: Die Definition einer Abbildung als Zuordnungsvorschrift ist ja ganz nett, aber die Charakterisierung einer Abbildung als linkstotale, rechtseindeutige Relation zwischen Definitions- und Wertebereich hat auch was.

Wer sich über Kritik ärgert, gibt zu, dass sie verdient war. Tacitus
Eine Wissenschaft ist erst dann als voll entwickelt anzusehen, wenn sie dahin gelangt ist, sich der Mathematik bedienen zu können. Marx
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Schneeglöckchen

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3

Dienstag, 7. Juli 2009, 13:10

Das Kriterium sind Werte- und Definitionsmege

Abbildung
Funktion
Funktional
Morphismus
Transformation
Operator
Einbettung
Restriktion
Fortsetzung

meinen letzlich immer das Selbe, jedoch auf die Mengen kommt es an. *005*
Natürlich kann man sich alles zusammen definieren wie man lustig ist, aber Konventionen haben halt doch einen Sinn, denn man spart Worte und verletzt trotzdem nicht die mathematische Formalia, wenn allen klar ist, dass dies oder jenes auch jenes meint *025*

(Muss man natürlich einmal erwähnen, aber das findest auch in jedem gescheiten Buch ganz am Anfang, oder Schluss)

On a sexy problem sheet there are maximal $\color{red} { \mathrm{n} + \pi + \gamma + \mathrm{e}, ~ \mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*}$ points to achieve.

Exercises with transcedent number of points are facultative nuts. As is generally known, nuts are nourishing.

lambda

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4

Dienstag, 7. Juli 2009, 13:35

Dann gibts ja auch noch die linearen Abbildungen und da der Isomorphismus, wenn sie bijektiv ist.

somewhere, something incredible is waiting to be known. (Carl Sagan)

$\\ \\ \colorbox{white}{$\textcolor{black}{R_{\mu\nu}-\dfrac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\kappa T_{\mu\nu}}$}$

Schneeglöckchen

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5

Dienstag, 7. Juli 2009, 13:42

Das muss so mit Vorsicht aufgeführt werden lambda. Obige Bezeichnungen verlangen keine Strukturerhaltung.

Unter einer linearen Abbildung, besser einem Homomorphismus, also mit Homo vor Morphismus verlange ich Additvität und Homogenität, die ich bei obigem nicht verlangen muss.

Und was dann die linearen Abbildungen angeht, da gibt es dann die vielen Bezeichnungen, wie Iso, Epi, Mono, Auto, Endo

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lambda

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6

Dienstag, 7. Juli 2009, 13:43

Stimmt. :D

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7

Dienstag, 7. Juli 2009, 14:32

Und wenn wir dann noch eine Abgeschlossenheit der Multiplokation verlangen, dann sind wir auch schon voll drinnen in dem was unter dem Namen Algebra läuft und die Strukturerhaltung wird immer besser *013*

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8

Dienstag, 7. Juli 2009, 17:01

eine weitere frage zum thema, und zwar zur gleichheit von abbildungen.

die gleichheit ist doch folgendermaßen definiert:
Zweit Abbildungen $f:M_{1}\longrightarrow N_{1}$ und $g:M_{2}\longrightarrow N_{2}$ heißen gleich, wenn $N_{1}=N_{2}$ und $G_{f}=G_{g}$ wobei $G_{f}=\{(x,f(x))\in M\times N:x\in M\}$ der graph der funktion ist.

jetzt meine frage: warum reicht es nicht, das der graph identisch ist? warum muss man zusätzlich noch gleichheit der Zielmengen fordern? ist das bei identischem graph nicht automatisch gegeben?

$e^{\pi i}+1=0$

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9

Dienstag, 7. Juli 2009, 17:32

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^+\cup \{0\},\ x\mapsto x^2$
$g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ x\mapsto x^2$

Besitzen den gleichen Graphen, sollten aber nicht gleich genannt werden, da f surjektiv ist, g aber nicht.

Edit: LaTeX eingefügt

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Dienstag, 7. Juli 2009, 20:31

Zitat von »One for one«

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^+\cup \{0\},\ x\mapsto x^2$
$g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\ x\mapsto x^2$

Besitzen den gleichen Graphen, sollten aber nicht gleich genannt werden, da f surjektiv ist, g aber nicht.

Edit: LaTeX eingefügt

hm... sry, ich check gerade nicht warum f surjektiv ist?

Eine funktion ist doch genau dann surjektiv, wenn es für alle elemente der zielmenge ein urbild gibt. dass ist doch hier aber sowohl bei g als auch bei f nicht der fall?
hm, wo ist mein fehler?

ps: ich check erlich gesagt auch garnicht wirklich wo der unterschied zwischen $\mathbb{R}^+\cup \{0\}$ und $\mathbb{R}$ ist ?(

$e^{\pi i}+1=0$

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Dienstag, 7. Juli 2009, 20:33

Verwechsel nicht immer rationale und reelle Zahlen!

f ist surjektiv, weil jede nichtnegative Zahl eine reelle Wurzel hat. g ist nicht surjekitv, weil das Quadrat einer reellen Zahl >=0 ist.

R^+ ist die Menge der positiven reellen Zahlen.

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12

Dienstag, 7. Juli 2009, 20:40

oh gott, ja naklar. wieder mal ein fall von lieber erst nachdenken... kp was gerade mit mir los ist, aber lieber kein mathe oder physik mehr heute abend...

$e^{\pi i}+1=0$

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Dienstag, 7. Juli 2009, 21:15

Vielleicht noch als Ergänzung. (Ich nehme mir die Frechheit und zähle die Null als positive Zahl

).

$f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ ist injektiv, da jedes Bild höchstens ein Urbild hat. Die negativen y-Werte werden nicht " getroffen".

$f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ ist bijektiv, da jedes positive y von genau einem positiven x getroffen wird.

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